题解 P2986 [USACO10MAR]伟大的奶牛聚集

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题意:有$n$个点,$n-1$条边,每个点上有$c_{i}$个人.要选一个点使所有人到这个点的距离最小

观察如果已经知道$1$号节点所需的时间

那么，我们可以做如下假设：

① 所有的牛首先到达了$1$号节点

② $3$号节点以及他子树上的节点都需要退回$1->3$的路径的长度

③ 除了$3$号节点以及他子树上的节点都需要前进$1->3$的路径的长度

通过上面的三条东西，我们就可以从任意一个父节点推出子节点的时间

所以，又是一遍$O(n)$的计算就可以推出最终的答案

$d[v] = d[u] - size[v]\times e[i].w + (n - size[v])*e[i].w;$

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
struct node{
    int dis,to,next;
}e[400000];
inline int read(){
   int x=0,w=0;char ch=getchar();
   while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
   while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
   return w?-x:x;
}
int n,m,cnt,ans=2100000000000000,size[300000],dep[400000],f[400000],head[400000],c[400000];
inline void add(int u,int v,int d){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    e[cnt].dis=d;
    head[u]=cnt;
}
void dfs1(int u,int fa){
    size[u]=c[u];
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if (v==fa)continue;
        dep[v]=dep[u]+e[i].dis;
        dfs1(v,u);
        size[u]+=size[v];
    }
}
void dfs(int u,int fa){
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if (v==fa)continue;
        f[v]=f[u]+(m-2*size[v])*e[i].dis;
        ans=min(ans,f[v]);
        dfs(v,u);
    }
}
signed main(){
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;++i)c[i]=read(),m+=c[i];
    for (int i=1;i<n;++i){
        int u=read(),v=read(),d=read();
        add(u,v,d);add(v,u,d);
    }
    dfs1(1,0);
    for (int i=1;i<=n;++i)f[1]+=dep[i]*c[i];
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",min(ans,f[1]));
    return 0;
}